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2026年3月15日

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LLM-training / Algorithm Basics

最近做了一点训练，发现对 LLM 最基本的一些东西已经有点遗忘了

—修改补充于26/5/6

loss 算是最基础的东西了，用来衡量模型的输出和 target 的距离，主要分为两类：

classification loss (discrete)：当你需要一个离散的值，比如 LLM 模型输出的 logits，是要从最后的词表里选出 1个 / k 个结果，就需要用到分类损失
- 以cross entropy为例，用来衡量分布之间的差别
- KL散度，可以用来衡量蒸馏的指标 $D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{Q(x)}{P(x)}$
regression loss (contiguous)：当需要一个连续的值的时候（一个连续的标量/向量），需要用回归损失去衡量这个值和 target 的“距离”
- MSE(Mean Square Error)：L2 Loss的平均值，用的是平方和
- MAE(Mean Absolute Error): L1 Loss的平均值

从基本的凸优化开始讲起，虽然深度学习因为有很多 non-linear 的层破坏了凸性，但是凸优化的很多思想得以保留，比如gradient descent和Newton method

梯度下降就是简单有效的往梯度的反方向走，它只提供了一个方向，需要决定使用什么样的步长也就是学习率 lr，公式就是 $\theta = \theta_{0} - \eta \nabla f_{\theta}$

而牛顿法则是加入了

Optimizer（优化器） 的职责是根据反向传播得到的梯度（ $\nabla \theta$ ），决定如何更新模型的参数 $\theta$

以下是几种最常见的优化器及其数学原理：（ $\eta$ 是学习率， $g_t$ 是梯度）

这是最基础的优化器，应该也是历史上出现的最早的一个优化器？它直接沿着梯度的反方向前进

数学原理：

$\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot g_t$

其中 $\eta$ 是学习率， $g_t$ 是当前步的梯度。
优缺点： 简单，但由于它是利用每个 Batch 计算梯度，更新路径会非常曲折（震荡严重），且容易陷入局部最优解或鞍点

为了解决 SGD 的震荡问题，动量法引入了一个“惯性”的概念；它不仅考虑当前梯度，还考虑之前的运动方向。

数学原理：
1. 计算动量项： $v_t = \gamma v_{t-1} + \eta g_t$
2. 更新参数： $\theta_{t+1} = \theta_t - v_t$
  
  其中 $\gamma$ （通常取 0.9）是动量因子
直观理解： 当前运动的方向和梯度一致的时候，动量项在梯度的基础上就会加上之前的运动方向，相当于多了一个bonus；而当两个方向不一致的时候，相当于进入了一个震荡状态，这个时候就要给他一个penalty，防止他去做多余的震荡

AdaGrad 开始尝试自适应学习率。它的核心思想是：对于更新频繁的参数，减小其学习率；对于更新不频繁的参数，增大其学习率。

数学原理：

$\theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{G_t + \epsilon}} \cdot g_t$

其中 $G_t = \sum_{\tau=1}^t g_\tau^2$ 是历史所有梯度平方的累加。
优缺点： 适合处理稀疏数据。但由于 $G_t$ 是不断累加的正数，学习率的分母逐渐变大，梯度的系数会迅速衰减直至趋近于 0，导致后期训练提前停止

RMSProp 是为了解决 AdaGrad 学习率消失问题而提出的。它不再累加所有历史梯度，而是使用**指数移动平均（EMA）**来只保留最近的梯度信息。

数学原理：
1. 计算平方梯度的均值： $E[g^2]_t = \beta E[g^2]_{t-1} + (1-\beta)g_t^2$
2. 更新参数： $\theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{E[g^2]_t + \epsilon}} \cdot g_t$
  
  这让优化器能够“忘记”很久以前的梯度，从而保持稳定的下降速度。

Adam 是目前 LLM 训练中最常用的优化器，它结合了 Momentum（一阶矩，控制方向）和 RMSProp（二阶矩，控制步长）的优点。

数学原理：
1. 一阶矩（动量）： $m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1-\beta_1)g_t$
2. 二阶矩（缩放）： $v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1-\beta_2)g_t^2$
3. 偏差修正： 由于 $m_t$ 和 $v_t$ 初始化为 0，初期会偏向 0，需要修正：
  
  $\hat{m}_t = \frac{m_t}{1-\beta_1^t}, \quad \hat{v}_t = \frac{v_t}{1-\beta_2^t}$
4. 更新参数： $\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \frac{\hat{m}_t}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}$

这是针对 Adam 的一个重要修正版。在 Adam 中，L2 正则化（Weight Decay）会被二阶矩 $v_t$ 异常缩放，导致正则化效果失效。