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俄罗斯转盘

2026年7月24日Prob

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俄罗斯转盘

看到一个有意思的小问题

一个俄罗斯转盘游戏，一个左轮手枪，六个孔，其中一个孔里有子弹，A和B两个人轮番对自己来一枪。

A先开枪，A一枪，B一枪，请问A死亡的概率是多少
A先开枪，A一枪，B一枪，每次开枪前重新转一遍左轮，请问A死亡的概率是多少

1问

第一问就是一个很naive的分布概率的计算，也就是说子弹在0,2,4的时候A会被崩死，不难得出 $p=\frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$

2问

第二问是一个比较有意思的问题，因为每次射击之后都进行了一次shuffle，也就是说每一次的射击结果都是独立的

换句话说，就是这里的无论前面经历了几轮射击，轮到A射击的时候，他被崩的概率都是不变的

也就是说 P(A被崩,这轮从A开始) = P(A被崩，这轮从A开始 | 前n轮没人被崩)

对第一轮用一个全概率公式，得到

$P(\text{A is shot, starting from A}) = P(\text{A is shot on round1}) + P(\text{A is not shot on round 1}) \cdot P (\text{A is shot after round 1} | \text{A is not shot on round 1})$

根据独立的条件，

$P (\text{A is shot after round 1} | \text{A is not shot on round 1}) = P (\text{A is shot after round 1})$

$P (\text{A is shot after round 1})$ ，由独立的条件，可以等价于 $P(\text{B is not shot} | \text{there's irrelevant shot before B's turn}) = P(\text{B is not shot, starting from B}) = 1 - P(\text{A is shot, starting from A})$

现在就得到了一个简洁的递推式:

$P = 1/6 + 5/6(1-P)$

如果觉得只展开一轮不够直观，那再找一个完备的情况应用一下全概率公式

设事件 $B$ = “A最终死亡”。
我们将第一轮（AB各打一枪为一轮，回归原始状态）拆成以下 3 个互斥且完备的情况

$A_1$ ：A在第一枪就死了
概率： $P(A_1) = \frac{1}{6}$
这种情况下，A已经死了，所以 $P(B|A_1) = 1$
$A_2$ ：A第一枪没死，但B第一枪死了
概率： $P(A_2) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$
这种情况下，游戏在B死亡时结束，A活下来了，所以 $P(B|A_2) = 0$
$A_3$ ：A第一枪没死，且B第一枪也没死
概率： $P(A_3) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
因为每次开枪前重转，所以第二轮的状态和第一轮开始时完全一样，依然是A先手。
因此，在这一条件下，A最终死亡的概率还是 $P(B)$ 本身，即 $P(B|A_3) = P(B)$

现在，把这三个条件代入全概率公式：

P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3)

代入数值：

P(B) = \left(\frac{1}{6} \times 1\right) + \left(\frac{5}{36} \times 0\right) + \left(\frac{25}{36} \times P(B)\right)

化简：

P(B) = \frac{1}{6} + \frac{25}{36}P(B)

移项解方程：

P(B) - \frac{25}{36}P(B) = \frac{1}{6}

\frac{11}{36}P(B) = \frac{1}{6}

P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{36}{11} = \frac{6}{11}