湖上鸭子的分布

Question

Ducks are uniformly distributed on a large pond. What is the probability that a duck is its nearest neighbor’s nearest neighbor?

Answer

解读

这个问题的关键在于建模，找到对应的概率模型

假设我们要考察的互为最近邻的两个鸭子是A和B，令AB=r。那么不难想到，在一个均匀分布鸭子的池塘上，随着r越大，互为最近邻的概率是变低的。而如果能求出这个概率关于r的函数P(r)，我们就可以用一个积分得到互为最近邻的期望

也就是说，可以把问题翻译成：

鸭子均匀分布，考察两只鸭子A和B，他们距离为r（这是要计算的一个概率事件），求得这种情况下最近邻的概率，再做一个期望

或者说把它变成这样的过程

1. 选取中心的鸭子A
2. 找到A的最近邻B，计算出他们的距离是r的概率p(r)
3. 对于这个B，他的最近邻是A的概率是q(r)
4. 对pq的乘积做积分

而这里123步其实和上面求$P(\text{互为最近邻}|r)$是等价的

建模

那么怎么求出这个概率呢？现在已有的信息只有均匀分布，我们规定这个恒定的密度为$\lambda$。那么在一块区域$S$里，没有任何鸭子的概率是多少呢？

把这块区域无限切分成小格，每个小格里没有鸭子的概率都无线趋近于0，而这些概率乘格子数量得到的是一个恒定值$\lambda$…这不就是一个典型的泊松分布吗？

泊松分布描述的是在固定时间或固定空间内，某个随机事件发生次数的频率。它的核心特征是：事件是独立、随机、且以恒定平均速率发生的

他是二项分布$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$取极限的结果$\frac{\mu^k}{k!} e^{-\mu}$

而应用到这个题目中，就是$P(X=0) = \frac{(\lambda S)^0}{0!} e^{-\lambda S} = e^{-\lambda S}$,$S = \pi r^2$，所以得到一个概率$P(R>r) = P(X=0)$, $P(R<=r) = 1 - P(X=0)$

对R<=r求导得到概率密度$f(r) = \frac{d(1-e^{-\lambda\pi r^2})}{dr} = 2\pi\lambda r \cdot e^{-\lambda \pi r^2}$，$f(r)dr$表示的就是距离落在$r$到$r+dr$这个区间里的概率，可以近似当作$P(R=r)$

所以我们已经*解读到了p(r)接下来就是求q(r)，也就是A也是B的最近邻的概率

可以看到在这个图中，由于A附近r内已经没有鸭子了，所以A是B的最近邻仅再要求右边这个月牙形S2里没有鸭子，只要计算出面积并带入概率公式就行（因为在均匀分布下，形状是没有影响的）

最终把p、q相乘，得到的概率再做一个积分

$$P = \int_0^\infty 2\lambda\pi r \, e^{-\lambda(\pi r^2 + S_2)} \, dr$$

把所有的值带进去解得最终的结果是$P = \frac{6\pi}{8\pi + 3\sqrt{3}}$

另：观察这个被积的式子，可以发现这个分布就是S1+S2 = 总面积，也就是说得到了两个重叠圆形成的“8”字，其半径为r且这个8字内空白的概率